Kas matemaatikute meeskond astus lihtsalt suure sammu matemaatika 160-aastasele miljoni dollari suurusele küsimusele vastamise poole?
Võib olla. Meeskond lahendas arvuteooria valdkonnas mitmeid muid väiksemaid küsimusi. Ja seda tehes on nad taasavanud vana tee, mis võib lõpuks viia vastuseni vanale küsimusele: kas Riemanni hüpotees on õige?
Reimanni hüpotees on põhiline matemaatiline oletus, millel on tohutu mõju ülejäänud matemaatikale. See loob aluse paljudele teistele matemaatilistele ideedele - kuid keegi ei tea, kas see vastab tõele. Selle kehtivusest on saanud matemaatika üks kuulsamaid avatud küsimusi. See on üks seitsmest 2000. aastal välja pandud "aastatuhande probleemist" koos lubadusega, et kes need lahendab, võidab miljoni dollari. (Ainult üks probleemidest on vahepeal lahendatud.)
Kust see idee tuli?
Veel 1859. aastal pakkus saksa matemaatik nimega Bernhard Riemann vastuse eriti keerukale matemaatikavõrrandile. Tema hüpotees on järgmine: Riemann zeta funktsiooni iga mittetriviaalse nulli tegelik osa on 1/2. See on üsna abstraktne matemaatiline avaldus, mis on seotud sellega, milliseid numbreid saab konkreetsesse matemaatilisse funktsiooni panna, et see funktsioon oleks võrdne nulliga. Kuid selgub, et see on väga oluline, ja mis kõige tähtsam seoses küsimustega, kui tihti saate lõpmatuseni lugedes alginumbreid.
Tuleme hiljem hüpoteesi üksikasjade juurde tagasi. Kuid oluline on nüüd teada, et kui Riemannsi hüpotees on tõene, vastab see paljudele matemaatika küsimustele.
"Nii sageli juhtub numbriteoorias see, et kui eeldada Riemanni hüpoteesi, suudate siis tõestada igasuguseid muid tulemusi," ütles Ohio Oberlini kolledži numbriteoreetik Lola Thompson, kes polnud kaasatud selles viimases uuringus ütles.
Sageli ütles ta Live Science'ile, et numbriteoreetikud tõestavad kõigepealt, et Riemannsi hüpoteesi tõesuse korral on midagi tõsi. Siis kasutavad nad seda tõendit omamoodi sammuna keerukama tõendusmaterjali poole, mis näitab, et nende esialgne järeldus on tõene, kas Riemann'i hüpotees on tõene või mitte.
Fakt, et see trikk töötab, veenab naine palju matemaatikuid, et Riemanni hüpotees peab olema tõene.
Kuid tõde on see, et keegi ei tea seda kindlalt.
Väike samm tõendi poole?
Kuidas näis see väike matemaatikute meeskond meid lahendusele lähendamas?
"See, mida me oma paberil oleme teinud," ütles Emory ülikooli numbriteoreetik ja uue tõestuse kaasautor Ken Ono, "kas me oleme uuesti läbi vaadanud väga tehnilise kriteeriumi, mis on samaväärne Riemanni hüpoteesiga ... ja me tõestasime suurt Osa sellest. Me tõestasime selle kriteeriumi suurt osa. "
"Riemanni hüpoteesiga samaväärne kriteerium" viitab sel juhul eraldi väitele, mis on Riemann'i hüpoteesiga matemaatiliselt samaväärne.
Esmapilgul pole ilmne, miks need kaks väidet on nii seotud. (Kriteerium on seotud millegagi, mida nimetatakse "Jenseni polünoomide hüperbooliaks".) Kuid 1920. aastatel tõestas ungari matemaatik nimega George Pólya, et kui see kriteerium on tõene, siis on ka Riemann'i hüpotees tõene - ja vastupidi. See on vana välja pakutud tee hüpoteesi tõestamiseks, kuid see oli suures osas loobutud.
Ono ja tema kolleegid tõestasid 21. mail ajakirjas Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS) avaldatud artiklis, et paljudel juhtudel on see kriteerium tõene.
Kuid matemaatikas ei piisa paljudest tõestuseks. Ikka on juhtumeid, kus nad ei tea, kas kriteerium on tõene või vale.
"See on nagu miljoninumbriga Powerball'i mängimine," sõnas Ono. "Ja teate kõiki numbreid, välja arvatud viimased 20. Kui isegi üks neist viimasest 20 numbrist on vale, kaotate. ... See võib ikkagi kõik laguneda."
Teadlastel oleks vaja veelgi põhjalikumat tõendit, et näidata, kas kriteerium on kõigil juhtudel tõene, tõestades sellega Riemanni hüpoteesi. Ja pole selge, kui kaugel selline tõestus on, ütles Ono.
Niisiis, kui suur asi see paber on?
Riemann'i hüpoteesi osas on raske öelda, kui suur asi see on. Palju sõltub sellest, mis edasi saab.
"See on vaid üks paljudest Riemanni hüpoteesi samaväärsetest formuleeringutest," ütles Thompson.
Teisisõnu, on palju muid ideid, mis sarnaselt sellele kriteeriumile tõestaksid Riemann'i hüpoteesi tõesust, kui need ise oleksid tõestatud.
"Niisiis, on tõesti raske teada, kui suur edasiminek see on, sest ühelt poolt on selles suunas tehtud edusamme. Kuid samaväärseid sõnastusi on nii palju, et võib-olla ei anna see suund Riemannile hüpoteesi. Võib-olla on üks neist teised samaväärsed teoreemid selle asemel saavad, kui keegi suudab neist ühe tõestada, "sõnas Thompson.
Kui tõestusmaterjal sel teel ilmneb, tähendab see tõenäoliselt, et Ono ja tema kolleegid on Riemann'i hüpoteesi lahendamiseks välja töötanud olulise alusraamistiku. Kuid kui see kusagil mujal üles tuleb, osutub see paber vähem tähtsaks.
Sellegipoolest on matemaatikutele muljet avaldatud.
"Kuigi see jääb Riemanni hüpoteesi tõestamisest kaugele, on see suur samm edasi," kirjutas meeskonna uurimisega mitteseotud Princetoni numbriteoreetik Encrico Bombieri kaasnevas 23. mai PNAS-i artiklis. "Pole kahtlust, et see raamat inspireerib edasist põhjapanevamat tööd nii numbriteooria kui ka matemaatilise füüsika teistes valdkondades."
(Bombieri võitis 1974. aastal väljade medali - kõige mainekama auhinna matemaatikas - suuresti Riemanni hüpoteesiga seotud töö eest.)
Mida ikkagi tähendab Riemanni hüpotees?
Lubasin, et jõuame selle juurde tagasi. Siin on jälle Riemanni hüpotees: Riemann zeta funktsiooni iga mittetriviaalse nulli tegelik osa on 1/2.
Jagageme selle vastavalt sellele, kuidas Thompson ja Ono seda seletasid.
Esiteks, mis on Riemann zeta funktsioon?
Matemaatikas on funktsioon erinevate matemaatiliste suuruste suhe. Lihtne võib välja näha selline: y = 2x.
Riemann zeta funktsioon järgib samu põhiprintsiipe. Ainult see on palju keerulisem. Siit see välja näeb.
See on lõpmatu jada summa, kus iga termin - esimesed paar on 1/1 ^ s, 1/2 ^ s ja 1/3 ^ s - lisatakse eelmistele terminitele. Need ellipsid tähendavad, et funktsiooni seeriad jätkuvad niimoodi igavesti.
Nüüd saame vastata teisele küsimusele: mis on Riemann zeta funktsiooni null?
See on lihtsam. Funktsiooni "null" on mis tahes arv, mille saate sisestada x jaoks, mille korral funktsioon võrdub nulliga.
Järgmine küsimus: mis on ühe sellise nulli "pärisosa" ja mida see tähendab, et see võrdub 1/2?
Riemann zeta funktsioon hõlmab seda, mida matemaatikud kutsuvad "keerukateks numbriteks". Keeruline arv näeb välja selline: a + b * i.
Selles võrrandis tähistavad "a" ja "b" mis tahes reaalarvu. Pärisarv võib olla mis tahes miinus 3 (null) kuni 4,9234, pi või 1 miljard. Kuid on ka teist tüüpi arv: kujuteldavad numbrid. Kujutiseta numbrid tekivad siis, kui võtate negatiivse arvu ruutjuure, ja need on olulised, näidates igasuguseid matemaatilisi kontekste.
Kõige lihtsam kujuteldav arv on ruutjuur -1, mis kirjutatakse "i" -ga. Kompleksarv on reaalarv ("a") pluss veel üks reaalarv ("b") korda i. Keerulise numbri "pärisosa" on see, et "a".
Mõned Riemann zeta funktsiooni nullid, negatiivsed täisarvud vahemikus -10 kuni 0, ei lähe Reimanni hüpoteesi jaoks arvesse. Neid peetakse "triviaalseteks" nullideks, kuna need on reaalarvud, mitte keerulised numbrid. Kõik ülejäänud nullid on "mittetriviaalsed" ja keerulised numbrid.
Riemann'i hüpotees väidab, et kui Riemann zeta funktsioon ületab nulli (välja arvatud need nullid vahemikus -10 kuni 0), peab kompleksarvu tegelik osa olema võrdne 1/2.
See väike väide ei pruugi kõlada eriti olulisena. Aga see on. Ja me võime selle lahendamisele olla vaid kümmekond minutit lähemal.
